આકૃતિમાં,AOBA એ પ્રથમ ચરણમાં ઉપવલય 9x^{2} + y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ઉપવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^{2} + y^{2} = 36$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ અથવા $\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{6^{2}} = 1$ ત

Vedclass · Accepted Answer

$3\pi - 6$

Vedclass · Answer

(A) ઉપવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^{2} + y^{2} = 36$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ અથવા $\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{6^{2}} = 1$ તરીકે લખી શકાય.સમીકરણ પરથી,$y = \sqrt{36 - 9x^{2}} = 3\sqrt{4 - x^{2}}$.બિંદુઓ $A(2, 0)$ અને $B(0, 6)$ માંથી પસાર થતી જીવા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{6} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 6 - 3x$ થાય છે.છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ $x = 0$ થી $x = 2$ સુધી ઉપવલયની નીચેના ક્ષેત્રફળમાંથી રેખા $AB$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{2} (y_{	ext{ellipse}} - y_{	ext{line}}) dx = \int_{0}^{2} (3\sqrt{4 - x^{2}} - (6 - 3x)) dx$.$= 3 \int_{0}^{2} \sqrt{2^{2} - x^{2}} dx - \int_{0}^{2} (6 - 3x) dx$.સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:$= 3 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^{2}} + \frac{4}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{2}) ight]_{0}^{2} - \left[ 6x - \frac{3x^{2}}{2} ight]_{0}^{2}$.$= 3 \left[ (0 + 2\sin^{-1}(1)) - (0 + 0) ight] - \left[ (12 - 6) - (0 - 0) ight]$.$= 3 \left[ 2 	imes \frac{\pi}{2} ight] - 6 = 3\pi - 6$ ચોરસ એકમ.

આકૃતિમાં,$AOBA$ એ પ્રથમ ચરણમાં ઉપવલય $9x^{2} + y^{2} = 36$ નો ભાગ છે,જેથી $OA = 2$ અને $OB = 6$ થાય. ચાપ $AB$ અને જીવા $AB$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Similar Questions

વક્રો $y=x^{2}$ અને $x=y^{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

વક્ર $y=2x-x^2$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

પ્રદેશ $\{(x, y) : y \le x - |x|, y \le |x \sin x|, y \ge 0\}$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

$x$-અક્ષ અને રેખા $x = 2$ ની વચ્ચે વક્ર $y = x^2 - 4x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module